Υπάρχουν δύο αξιοσημείωτες μέθοδοι για τον ορισμό
(ουσιαστικά την εκτίμηση) της πιθανότητας
ενός γεγονότος. Θα τους παρουσιάσουμε ξεκινώντας με ένα
παράδειγμα.
Στο πείραμα τύχης της ρίψης ενός ζαριού, ο ΔΧ είναι το σύνολο
των αριθμών
.
Αν ορίσουμε με
το γεγονός ``το αποτέλεσμα του πειράματος να
είναι αριθμός άρτιος'', τότε το γεγονός
θα περιλαμβάνει τα
σημεία
.
Έστω ότι επαναλαμβάνουμε το πείραμα ρίψης ζαριού φορές,
και συμβολίζουμε με
το πλήθος εκείνων από τις
δοκιμές στις οποίες το αποτέλεσμα της ρίψης ήταν 1, με
το πλήθος εκείνων όπου το αποτέλεσμα ήταν 2, κ.ο.κ.
Το ποσοστό των εμφανίσεων των αποτελεσμάτων 1, 2, ..., 6,
είναι λοιπόν
Δεδομένου ότι το γεγονός περιλαμβάνει τα σημεία
,
μπορεί να γίνει εύκολα αντιληπτό
ότι η σχετική συχνότητα του γεγονότος
θα είναι το άθροισμα
Ο απλούστερος ορισμός της πιθανότητας είναι ο γνωστός ως
κλασσικός
ορισμός, και έχει τις ρίζες του στα τυχερά παιχνίδια.
Σύμφωνα με αυτόν, η πιθανότητα ενός γεγονότος
ορίζεται ως
= (πλήθος σημείων του γεγονότος
)/
(πλήθος σημείων του
).
Περιφραστικά, η πιθανότητα ενός γεγονότος είναι το πηλίκο
των διαφόρων τρόπων με τους οποίους μπορεί να πραγματοποιηθεί το
(των "ευνοικών" περιπτώσεων για το
) δια του πλήθους
των δειγματοσημείων του
.
Για να ισχύει όμως ο κλασσικός ορισμός, θα πρέπει να υπάρχουν οι εξής προυποθέσεις:
Ο κλασσικός ορισμός της πιθανότητας παρουσιάζει αδυναμίες.
Κατ' αρχήν χρησιμοποιεί εκφράσεις όπως ``ίδιες δυνατότητες''
ή ``ίδιες ευκαιρίες'', οι οποίες δεν μπορούν να ορισθούν επαρκώς
από μαθηματικής πλευράς, αλλά επαφίενται στη διαίσθηση.
Επίσης, συχνά εμφανίζονται στην πράξη δειγματοχώροι
με άπειρο πλήθος στοιχείων, οπότε η προυπόθεση (1) δεν συντρέχει.
Υπάρχουν δύο εξίσου πιθανά αποτελέσματα, Κ και Γ, και επειδή το ευνοικό αποτέλεσμα είναι ένα από αυτά (Κ), συμπεραίνουμε ότι η πιθανότητα να έρθει Κ σε μιά ρίψη είναι 1/2 .
Εδώ ={ΚΚ,ΚΓ,ΓΚ,ΓΓ}, ενώ το σύνολο που αντιστοιχεί
στο γεγονός που περιγράφηκε είναι το {ΚΓ}, οπότε
(ΚΓ)=1/4.
Ο ΔΧ του προβλήματος είναι ο =
.
Έστω
και
τα ενδεχόμενα ``να έρθει 4'' και ``να έρθει άρτιος'',
αντίστοιχα. Τότε
και
, οπότε
και
.
Ένας άλλος ορισμός της πιθανότητας ο οποίος δεν θέτει περιορισμούς
στον ΔΧ είναι εκείνος που βασίζεται στην έννοια της σχετικής
συχνότητας, και ο οποίος βασίζεται σε πολλές επαναλήψεις
ενός δεδομένου πειράματος τύχης.
Θεωρήστε έναν οποιονδήποτε δειγματοχώρο
ο οποίος
αναφέρεται σε ένα συγκεκριμένο πείραμα τύχης, και έστω
ένα γεγονός.
Το εν λόγω πείραμα τύχης επαναλαμβάνεται
φορές, και έστω
ο αριθμός των φορών που πραγματοποιείται το γεγονός
.
Ο αριθμός
λέγεται συχνότητα του Α, και το πηλίκο
σχετική συχνότητα του
.
Θεωρούμε την ακολουθία των σχετικών συχνοτήτων του ,
, με
, και υποθέτουμε ότι καθώς
υπάρχει το όριο
. Το όριο αυτό
ορίζεται ως η πιθανότητα του
,
. Ο ορισμός αυτός είναι
γνωστός ως στατιστικός ορισμός, και ικανοποιεί την αντίληψη
που διαισθητικά έχει κανείς για την έννοια της πιθανότητας.
Αδυναμίες παρουσιάζει και αυτός ο ορισμός, που σχετίζονται
με την απαίτηση του πολύ μεγάλου . Αποφεύγουμε τις
αδυναμίες των δύο παραπάνω ορισμών με τον αξιωματικό ορισμό
της πιθανότητας (Kolmogorov), ο οποίος είναι προιόν
μακροχρόνιων και διαδοχικών βελτιώσεων προγενέστερών του ορισμών.
Ενσωματώνει και επεκτείνει τις ιδιότητες του κλασσικού και του
στατιστικού ορισμού, και προσφέρεται για τη σε βάθος μαθηματική
μελέτη της Θεωρίας Πιθανοτήτων.
Αν και δεν θα αναλύσουμε εδώ αυτόν τον ορισμό,
αναφέρουμε επιγραμματικά τις ιδιότητες/αξιώματα μέσω των οποίων ορίζεται
η πιθανότητα:
Τα και
είναι ξένα, καθώς και τα
και
. Από το αξίωμα
(iii) του τελευταίου ορισμού της πιθανότητας, έχουμε
, και
.
α) Συμβολίζουμε με ,
, και
τα γεγονότα να βγει κόκκινη, άσπρη,
και μπλέ σφαίρα, αντίστοιχα. Ο ΔΧ του πειράματος περιέχει 15 σημεία.
Εάν το καθένα έχει πιθανότητα 1/15, έχουμε ότι
,
επειδή το γεγονός
περιέχει 6 σημεία του ΔΧ.
β) Με το ίδιο σκεπτικό, , και
γ) .
δ) Η πιθανότητα να μη βγει κόκκινη σφαίρα είναι ίση με την πιθανότητα
να βγει άσπρη ή μπλε. Έτσι, όχι
ή
.
Επειδή όμως τα γεγονότα
και
είναι ασυμβίβαστα, θα έχουμε
ότι
.
ε) Το γεγονός `` ή
'' παριστάνεται από την ένωση των γεγονότων
και
,
. Αλλά αφού τα
και
είναι ασυμβίβαστα, τότε
.
Maria Kafesaki 2005-05-26