Ορισμός της Πιθανότητας

Πριν προχωρήσουμε στον ορισμό της πιθανότητας, θα πρέπει να σημειώσουμε ότι τα περισσότερα από τα πειράματα τύχης δείχνουν κάποια κανονικότητα. Με αυτό εννοούμε ότι η σχετική συχνότητα ενός γεγονότος είναι προσεγγιστικά η ίδια σε κάθε περίπτωση που πραγματοποιείται ένα σύνολο δοκιμών, δηλαδή ένα σύνολο επαναλήψεων ενός δεδομένου πειράματος τύχης. Η κανονικότητα αυτή είναι ο λόγος που γίνεται δυνατός ο ορισμός της πιθανότητας.

Υπάρχουν δύο αξιοσημείωτες μέθοδοι για τον ορισμό (ουσιαστικά την εκτίμηση) της πιθανότητας ενός γεγονότος. Θα τους παρουσιάσουμε ξεκινώντας με ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 4: Ρίψη ενός ζαριού.

Στο πείραμα τύχης της ρίψης ενός ζαριού, ο ΔΧ είναι το σύνολο των αριθμών $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Αν ορίσουμε με $Α$ το γεγονός ``το αποτέλεσμα του πειράματος να είναι αριθμός άρτιος'', τότε το γεγονός $Α$ θα περιλαμβάνει τα σημεία $\{2, 4, 6\}$.

Έστω ότι επαναλαμβάνουμε το πείραμα ρίψης ζαριού $n$ φορές, και συμβολίζουμε με $N_n (1)$ το πλήθος εκείνων από τις $n$ δοκιμές στις οποίες το αποτέλεσμα της ρίψης ήταν 1, με $N_n (2)$ το πλήθος εκείνων όπου το αποτέλεσμα ήταν 2, κ.ο.κ.

Το ποσοστό των εμφανίσεων των αποτελεσμάτων 1, 2, ..., 6, είναι λοιπόν

$$\frac{Ν_{n} (1)}{n} , ~~\frac{Ν_{n} (2)}{n}, .... , ~~\frac{Ν_{n} (6)}{n}.$$

Καθώς το πλήθος των δοκιμών αυξάνεται, θα περιμέναμε τα παραπάνω πηλίκα, τα οποία λέγονται και σχετικές συχνότητες των $1, 2,...,6$, αντίστοιχα, να σταθεροποιούνται σε κάποιους αριθμούς $p_1, p_2,..., p_6$, οι οποίοι σύμφωνα με τη διαίσθησή μας θα πρέπει να είναι όλοι ίσοι με $1/6$ στην περίπτωση αυτή.

Δεδομένου ότι το γεγονός $Α$ περιλαμβάνει τα σημεία $\{2, 4, 6\}$, μπορεί να γίνει εύκολα αντιληπτό ότι η σχετική συχνότητα του γεγονότος $Α$ θα είναι το άθροισμα

$$\frac{Ν_{n} (2)}{n}+\frac{Ν_{n} (4)}{n}+\frac{Ν_{n} (6)}{n} =p_2+p_4+p_6=\frac{3}{6}.$$

Ο απλούστερος ορισμός της πιθανότητας $P(Α)$ είναι ο γνωστός ως κλασσικός ορισμός, και έχει τις ρίζες του στα τυχερά παιχνίδια. Σύμφωνα με αυτόν, η πιθανότητα ενός γεγονότος $Α$ ορίζεται ως

$P(A)$ = (πλήθος  σημείων  του  γεγονότος $Α$)/ (πλήθος  σημείων  του  $\Omega$).

Περιφραστικά, η πιθανότητα ενός γεγονότος $Α$ είναι το πηλίκο των διαφόρων τρόπων με τους οποίους μπορεί να πραγματοποιηθεί το $Α$ (των "ευνοικών" περιπτώσεων για το $Α$) δια του πλήθους των δειγματοσημείων του $\Omega$.

Για να ισχύει όμως ο κλασσικός ορισμός, θα πρέπει να υπάρχουν οι εξής προυποθέσεις:

(1)

το πείραμα τύχης που μελετάμε να έχει πεπερασμένο δειγματοχώρο.

(2)

όλα τα απλά (στοιχειώδη) γεγονότα να έχουν την ίδια ακριβώς δυνατότητα (ευκαιρία) να συμβούν.

Ο κλασσικός ορισμός της πιθανότητας παρουσιάζει αδυναμίες. Κατ' αρχήν χρησιμοποιεί εκφράσεις όπως ``ίδιες δυνατότητες'' ή ``ίδιες ευκαιρίες'', οι οποίες δεν μπορούν να ορισθούν επαρκώς από μαθηματικής πλευράς, αλλά επαφίενται στη διαίσθηση. Επίσης, συχνά εμφανίζονται στην πράξη δειγματοχώροι $\Omega$ με άπειρο πλήθος στοιχείων, οπότε η προυπόθεση (1) δεν συντρέχει.

Παράδειγμα 5: Ποια είναι η πιθανότητα να έρθει κεφάλι (Κ) σε μιά ρίψη νομίσματος;

Υπάρχουν δύο εξίσου πιθανά αποτελέσματα, Κ και Γ, και επειδή το ευνοικό αποτέλεσμα είναι ένα από αυτά (Κ), συμπεραίνουμε ότι η πιθανότητα να έρθει Κ σε μιά ρίψη είναι 1/2 .

Παράδειγμα 6: Ρίχνουμε ένα νόμισμα δύο φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να έρθει κεφάλι (Κ) στην πρώτη ρίψη και γράμματα (Γ) στη δεύτερη;

Εδώ $\Omega$ ={ΚΚ,ΚΓ,ΓΚ,ΓΓ}, ενώ το σύνολο που αντιστοιχεί στο γεγονός που περιγράφηκε είναι το {ΚΓ}, οπότε $P$(ΚΓ)=1/4.

Παράδειγμα 7: Ρίχνουμε ένα ζάρι μία φορά. Ποια είναι η πιθανότητα να έρθει 4; Ποια είναι η πιθανότητα να έρθει άρτιος;

Ο ΔΧ του προβλήματος είναι ο $\Omega$ = $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Έστω $Α$ και $Β$ τα ενδεχόμενα ``να έρθει 4'' και ``να έρθει άρτιος'', αντίστοιχα. Τότε $Α=\{4\}$ και $Β = \{ 2,4,6\}$, οπότε $P(Α) = 1/6$ και $P(Β) = 3/6 = 1/2$.

Ένας άλλος ορισμός της πιθανότητας ο οποίος δεν θέτει περιορισμούς στον ΔΧ $\Omega$ είναι εκείνος που βασίζεται στην έννοια της σχετικής συχνότητας, και ο οποίος βασίζεται σε πολλές επαναλήψεις ενός δεδομένου πειράματος τύχης. Θεωρήστε έναν οποιονδήποτε δειγματοχώρο $\Omega$ ο οποίος αναφέρεται σε ένα συγκεκριμένο πείραμα τύχης, και έστω $Α$ ένα γεγονός. Το εν λόγω πείραμα τύχης επαναλαμβάνεται $n$ φορές, και έστω $Ν_n (A)$ ο αριθμός των φορών που πραγματοποιείται το γεγονός $Α$. Ο αριθμός $Ν_n (A)$ λέγεται συχνότητα του Α, και το πηλίκο $Ν_n (A) / n$ σχετική συχνότητα του $Α$.

Θεωρούμε την ακολουθία των σχετικών συχνοτήτων του $Α$, $\{Ν_n (A) / n\}$, με $n\geq 1$, και υποθέτουμε ότι καθώς $n \rightarrow \infty$ υπάρχει το όριο $\lim_{n \rightarrow \infty} (Ν_n (A) / n)$. Το όριο αυτό ορίζεται ως η πιθανότητα του $Α$, $P(Α)$. Ο ορισμός αυτός είναι γνωστός ως στατιστικός ορισμός, και ικανοποιεί την αντίληψη που διαισθητικά έχει κανείς για την έννοια της πιθανότητας.

Αδυναμίες παρουσιάζει και αυτός ο ορισμός, που σχετίζονται με την απαίτηση του πολύ μεγάλου $n$. Αποφεύγουμε τις αδυναμίες των δύο παραπάνω ορισμών με τον αξιωματικό ορισμό της πιθανότητας (Kolmogorov), ο οποίος είναι προιόν μακροχρόνιων και διαδοχικών βελτιώσεων προγενέστερών του ορισμών. Ενσωματώνει και επεκτείνει τις ιδιότητες του κλασσικού και του στατιστικού ορισμού, και προσφέρεται για τη σε βάθος μαθηματική μελέτη της Θεωρίας Πιθανοτήτων. Αν και δεν θα αναλύσουμε εδώ αυτόν τον ορισμό, αναφέρουμε επιγραμματικά τις ιδιότητες/αξιώματα μέσω των οποίων ορίζεται η πιθανότητα:

(i)

$P$($\Omega$) = 1.

(ii)

$P(Α) \geq 0$.

(iii)

Αν $Α_j$, $j=1,2,3,...$, είναι ξένα ανά δύο σύνολα, τότε

$$P\left( \bigcup_{j=1}^{\infty} A_j \right) = \sum_{j=1}^{\infty} P(A_j) .$$

Παράδειγμα 8: Ρίχνουμε ένα ζάρι μία φορά. Θεωρήστε τα γεγονότα $Α=\{1,2\}$, $Β=\{4,5,6\}$ και $\Gamma=\{3,4\}$, τα οποία είναι υποσύνολα του δειγματοχώρου $\Omega = \{ 1,2,3,4,5,6\}$ του προβλήματος. Ποια η πιθανότητα των γεγονότων $Α\cup Β$ και $Α\cup \Gamma$;

Τα $Α$ και $Β$ είναι ξένα, καθώς και τα $Α$ και $\Gamma$. Από το αξίωμα (iii) του τελευταίου ορισμού της πιθανότητας, έχουμε $P(Α\cup Β) = P(Α) + P(Β) = 2/6 + 3/6 = 5/6$, και $P(Α\cup \Gamma) = P(Α) + P(\Gamma) = 2/6 + 2/6 = 2/3$.

Παράδειγμα 9: Βγάζουμε στην τύχη μία σφαίρα από ένα κουτί που περιέχει 6 κόκκινες, 4 άσπρες και 5 μπλέ σφαίρες, κατά τα άλλα όμοιες. Ποια είναι η πιθανότητα να βγει σφαίρα α) κόκκινη, β) άσπρη, γ) μπλε, δ) όχι κόκκινη, ε) κόκκινη ή άσπρη;

α) Συμβολίζουμε με $Κ$, $Α$, και $Μ$ τα γεγονότα να βγει κόκκινη, άσπρη, και μπλέ σφαίρα, αντίστοιχα. Ο ΔΧ του πειράματος περιέχει 15 σημεία. Εάν το καθένα έχει πιθανότητα 1/15, έχουμε ότι $P(Κ) = 6/15$, επειδή το γεγονός $Κ$ περιέχει 6 σημεία του ΔΧ.

β) Με το ίδιο σκεπτικό, $P(Α) = 4/15$, και

γ) $P(Μ) = 5/15$.

δ) Η πιθανότητα να μη βγει κόκκινη σφαίρα είναι ίση με την πιθανότητα να βγει άσπρη ή μπλε. Έτσι, $P($όχι$~Κ)=P(Α~$ ή $~Μ) = P(Α\cup Μ)$. Επειδή όμως τα γεγονότα $Α$ και $Μ$ είναι ασυμβίβαστα, θα έχουμε ότι $P(Α\cup Μ) =P(Α) + P(Μ) = 4/15 + 5/15 = 3/5$.

ε) Το γεγονός ``$Κ$ ή $Α$'' παριστάνεται από την ένωση των γεγονότων $Κ$ και $Α$, $Κ\cup Α$. Αλλά αφού τα $Κ$ και $Α$ είναι ασυμβίβαστα, τότε $P(Κ\cup Α) =P(Κ) + P(Α) = 6/15 + 4/15 = 2/3$.