Βασική Αρχή Απαρίθμησης

Παράδειγμα 1: Πηγαίνετε να γευματίσετε σ' ένα εστιατόριο πολυτελείας, και ο σερβιτόρος σας πληροφορεί ότι έχετε:

α) δύο επιλογές για ορεκτικό (σούπα ή χυμό),

β) τρείς επιλογές για κύριο πιάτο (κρέας, ψάρι, και πιάτο λαχανικών),

γ) δύο για επιδόρπιο (παγωτό ή γλυκό).

Ποιες είναι οι δυνατές επιλογές σας για το πλήρες γεύμα;

Το μενού αποφασίζεται σε τρία στάδια, και στο κάθε στάδιο ο αριθμός των δυνατών επιλογών σας δεν εξαρτάται από το τι διαλέξατε στο προηγούμενο. Δύο επιλογές για το πρώτο στάδιο, τρεις για το δεύτερο και δύο για το τρίτο. Προφανώς ο συνολικός αριθμός επιλογών είναι το γινόμενο του αριθμού των επιλογών σε κάθε στάδιο. Εδώ έχουμε $2\cdot 3 \cdot 2 = 12$ διαφορετικά μενού, για να διαλέξουμε.

Παράδειγμα 2: Σε ένα πείραμα τύχης ρίχνουμε ένα νόμισμα και ένα ζάρι. Ποιος είναι ο δειγματοχώρος αυτού του πειράματος;

Προφανώς αυτό είναι ένα πείραμα που εκτελείται σε δύο στάδια. Ας υποθέσουμε ότι ρίχνουμε πρώτα το νόμισμα (Π$_1$). Έχουμε δύο δυνατά αποτελέσματα, κεφάλι (Κ) ή γράμματα (Γ). Κατόπιν ρίχνουμε το ζάρι (Π$_2$). Γι' αυτό έχουμε έξι δυνατά αποτελέσματα, τα 1,2,3,4,5,6. Τώρα, κάθε σημείο του δειγματοχώρου του Π$_1$ μπορεί να συνδυαστεί με καθένα από τα 6 σημεία του δειγματοχώρου του Π$_2$, για να δώσει $2\cdot 6$ το πλήθος διατεταγμένα ζεύγη. Ο δειγματοχώρος του σύνθετου πειράματος θα είναι λοιπόν
$\Omega =$ { (Κ,1), (Κ,2),...,(Κ,6),(Γ,1),(Γ,2),...,(Γ,6) } ,
όπου το σημείο (Κ, 4), λόγου χάρη, σημαίνει ``να έρθει Κ στη ρίψη του νομίσματος, και 4 στη ρίψη του ζαριού''.

Θα διατυπωσουμε τώρα μιά μάλλον προφανή πρόταση, η οποία είναι γνωστή ως η βασική αρχή της απαρίθμησης.

Πρόταση: Υποθέτουμε ότι ένα έργο (π.χ. μια εργασία, ένα πείραμα τύχης, κ.τ.λ.) μπορεί να ολοκληρωθεί σε $n$ στάδια (ή βαθμίδες ή στοιχειώδη πειράματα τύχης). Υπάρχουν $m_1$ τρόποι να εκτελέσουμε το πρώτο στάδιο (ή $m_1$ επιλογές για το πρώτο στάδιο, ή $m_1$ δειγματοσημεία στον δειγματοχώρο του πρώτου σταδίου). Για καθέναν από αυτούς τους $m_1$ τρόπους υπάρχουν $m_2$ τρόποι να εκτελέσουμε το δεύτερο στάδιο. Για καθέναν από αυτούς τους $m_2$ τρόπους υπάρχουν $m_3$ τρόποι να εκτελέσουμε το τρίτο στάδιο, κ.ο.κ. Τότε ο ολικός αριθμός των διαφορετικών τρόπων, με τους οποίους μπορεί να ολοκληρωθεί το έργο αυτό, δίνεται από το γινόμενο $N \equiv m_1 \cdot m_2 \cdots m_n$.

Ας εξειδικεύσουμε το παραπάνω σε πειράματα τύχης. Θεωρούμε $n$ πειράματα τύχης (ή $n$ στάδια ενός σύνθετου πειράματος τύχης), Π$_1$, Π$_2$,...,Π$_n$, και τους αντίστοιχους δειγματοχώρους, $\Omega_1$, $\Omega_2$,...,$\Omega_n$, με πλήθος δειγματοσημείων $N(\Omega_j)=m_j,~j=1,2,...,n$. Ακολούθως θεωρούμε το σύνθετο πείραμα τύχης Π, που συνίσταται στην ταυτόχρονη εκτέλεση των $n$ παραπάνω πειραμάτων τύχης. Πόσα είναι τα δυνατά αποτελέσματα του Π; (ή, ισοδύναμα, πόσες είναι οι δυνατές $n-$άδες που μπορούμε να κατασκευάσουμε παίρνοντας ένα στοιχείο από $\Omega_1$, ένα στοιχείο από τον $\Omega_2$, κ.τ.λ.).

Η απάντηση, η οποία δίνεται από την προηγούμενη πρόταση, είναι $N(\Omega) = m_1\cdot m_2 \cdots m_n$, όπου $\Omega$ ο δειγματοχώρος του Π. Αυτό είναι και το πλήθος των $n-$άδων $x_1,x_2,...,x_n$ που μπορούμε να σχηματίσουμε παίρνοντας ένα στοιχείο $x_1$ από το $\Omega_1$, ένα στοιχείο $x_2$ από το $\Omega_2$, κ.τ.λ.

Μια σημαντική ειδική περίπτωση του παραπάνω παραδείγματος παίρνουμε αν ο καθένας από τους δειγματοχώρους $\Omega_j$ είναι το ίδιο πάντα σύνολο, έστω $S$, το οποίο έχει $s$ στοιχεία. Τότε υπάρχουν $s^n$ το πλήθος $n-$άδες $x_1,x_2,...,x_n$, για τις οποίες κάθε $x_j$ είναι ένα από τα στοιχεία του $S$. Για παράδειγμα, αν ρίξουμε ένα ζάρι τρεις φορές, οι τριάδες $(x_1,x_2,x_3)$ που μπορούν να σχηματιστούν είναι $6^3$, όπου τα $x_1,x_2$, και $x_3$ είναι στοιχεία του συνόλου $\{1,2,3,4,5,6\}$. Οι τριάδες αυτές είναι τα σημεία του δειγματοχώρου $\Omega$ του πειράματος της ρίψης τριών ζαριών, όπου η τριάδα (2,4,5), π.χ. παριστάνει το ενδεχόμενο "να έρθει 2 το πρώτο ζάρι, 4 το δεύτερο, και 5 το τρίτο".