Δεσμευμένη Πιθανότητα

Θεωρούμε δύο γεγονότα $Α$ και $Β$ με $P(Α) >0$, και θέτουμε το εξής ερώτημα: Ποια είναι η πιθανότητα να συμβεί το $Β$, δεδομένου ότι συνέβη (πραγματοποιήθηκε) το $Α$. Για να απαντήσουμε, πρέπει πρώτα να δώσουμε τον ακριβή ορισμό της πιθανότητας ενός ενδεχομένου με δεδομένο κάποιο άλλο.

Ορισμός: Έστω $Α$ και $Β$ δύο ενδεχόμενα τέτοια ώστε $P(Α) >0$. Τότε η δεσμευμένη πιθανότητα του $Β$ με δεδομένο το $Α$, η οποία συμβολίζεται με $P(Β\vertΑ)$, ορίζεται από τη σχέση

$$P(Β\vertΑ) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} .$$ (4)

Αν $P(Α) =0$, τότε η $P(Β\vertΑ)$ δεν ορίζεται. (Η σχέση (4), γραμμένη ισοδύναμα ως $P(B \cap A)=P(Β\vertΑ)P(A)$, μπορεί να μεταφραστεί ως ``η πιθανότητα να συμβεί και το $Α$ και το $Β$ είναι ίση με την πιθανότητα να συμβεί το $Α$ επί την πιθανότητα να συμβεί το $Β$ δεδομένου του ότι συνέβη το $Α$'').

Η $P(Β\vertΑ)$ λέγεται επίσης και πιθανότητα υπό συνθήκη του $Β$ δεδομένου του $Α$. Το νόημα της εισαγωγής της δεσμευμένης πιθανότητας είναι η παροχή δυνατότητας ενσωμάτωσης τυχόν διαθέσιμων πληροφοριών κατά τον υπολογισμό της πιθανότητας ενός γεγονότος.

Στην πράξη, αν γνωρίζουμε ότι το $Α$ έχει πραγματοποιηθεί, τότε αυτό αντικαθιστά το $\Omega$ στον υπολογισμό της πιθανότητας του $Β$, δηλαδή η δεσμευμένη πιθανότητα του $B$ $P(B\vert A)$ είναι στην ουσία η πιθανότητα του $Β$ στον δειγματοχώρο $Α$. Αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του $P(B\vert A)$.

Συνοψίζοντας: Ο υπολογισμός της δεσμευμένης πιθανότητας $P(B\vert A)$ μπορεί να γίνει είτε χρησιμοποιώντας τον ορισμό (4) είτε υπλογίζοντας την πιθανότητα του $Β$ στον νέο δειγματοχώρο $Α$.

Παράδειγμα 11: Διαλέγουμε στην τύχη μια οικογένεια με δύο παιδιά, από ένα σύνολο τέτοιων οικογενειών. Ο ΔΧ αυτού του πειράματος τύχης, όσον αφορά το φύλο των παιδιών, είναι $\Omega$ = {ΑΑ, ΑΚ,ΚΑ,ΚΚ}, όπου λόγου χάρη, ΑΚ είναι το σημείο που σημαίνει ότι το πρώτο παιδί είναι αγόρι και το δεύτερο κορίτσι.
(α) Ποια είναι η πιθανότητα η οικογένεια αυτή να έχει δύο αγόρια;
(β) Ποια είναι η πιθανότητα η οικογένεια αυτή να έχει δύο αγόρια αν γνωρίζουμε ότι ένα από τα παιδιά είναι αγόρι;

Έστω $Β$ το γεγονός ``η οικογένεια έχει δύο αγόρια'' και $Α$ το γεγονός ``ένα από τα παιδιά αγόρι''. Tότε το $Β$ περιέχει το δειγματοσημεία $Β$={ΑΑ} και το $Α$ τα σημεία $Α$={ΑΑ, ΚΑ, ΑΚ}.

(α) Λαμβάνοντας υπόψη τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας, βλέπουμε ότι η πιθανότητα του $Β$ είναι $P(B)=1/4$.

(β) Με δεδομένο ότι ένα από τα παιδιά είναι αγόρι, ο ΔΧ του πειράματος τύχης είναι πλέον ο $Α$ = {ΑΑ, ΑΚ, ΚΑ}. Η πιθανότητα του $Β$ στον νέο ΔΧ είναι $P(B)=1/3$, σύμφωνα και με τη σχέση (4) (σημειώστε ότι $P(B \cap A)=P(B)$, αφού $Β \subset A$).

Παράδειγμα 12: Υποθέτουμε ότι ο πληθυσμός κάποιας πόλης είναι $40\%$ άνδρες και $60\%$ γυναίκες. Υποθέτουμε ακόμη ότι το $50\%$ των ανδρών και το $30\%$ των γυναικών είναι καπνιστές. Να βρεθεί η πιθανότητα ένας καπνιστής να είναι άνδρας.

Συμβολίζουμε με $Α$ ($\Gamma$) το ενδεχόμενο να επιλέξουμε άνδρα (γυναίκα), και $Κ$ ($\Lambda$) το ενδεχόμενο να επιλέξουμε καπνιστή (μη καπνιστή). Η πληροφορία που μας δόθηκε είναι ότι

$$P(K\vert A) = 0.5,~~P(K\vert\Gamma) = 0.3,~~P(A)=0.4 ~~{\rm\&}~~P(\rm {\Gamma})=0.6 .$$

Το πρόβλημα είναι να υπολογιστεί η $P(A\vert K)$. Από τον ορισμό της δεσμευμένης πιθανότητας, έχουμε ότι

$$P(Α\vertΚ) = \frac{P(A\cap Κ)}{P(Κ)} .$$

Για τον υπολογισμό του αριθμητή παρατηρούμε ότι

$$P(A\cap Κ) = P(Κ\cap Α) = P(Α) P(K\vert A) =(0.4)(0.5) = 0.2 .$$

Για τον υπολογισμό του παρονομαστή παρατηρούμε ότι το $Κ$ είναι η ένωση των ξένων συνόλων $Κ\cap Α$ και $Κ\cap \Gamma$, οπότε

$$P(Κ) = P(Κ\cap Α) + P(Κ\cap \Gamma) = P(Α) P(Κ\vertΑ) + P(\Gamma) P(Κ\vert\Gamma)$$

$$= 0.2 + (0.6)(0.3) = 0.38 .$$

Επομένως, $P(Α\vertΚ) = 0.2 / 0.38 \simeq 0.53$.

Θα παρατηρήσατε ότι ο ΔΧ δεν αναφέρθηκε ποτέ σαφώς σε αυτό το παράδειγμα. $\Omega$στόσο είναι πολύ εύκολο να κατασκευαστεί.