Για δύο γεγονότα
και
, με
, ορίσαμε τη δεσμευμένη
πιθανότητα του Β δεδομένου του Α,
.
Συγκρίνοντας τώρα τις πιθανότητες
και
,
είναι δυνατόν να ισχύει μία από τις τρεις σχέσεις:
Το ποια από αυτές θα ισχύει, καθορίζεται από τις επιλογές των
και
.
Στην περίπτωση που
είναι
, λέμε ότι το γεγονός
είναι
ανεξάρτητο1 (στοχαστικά ή στατιστικά ή υπό την έννοια της
πιθανότητας) από το γεγονός
. Δηλαδή, η γνώση του ότι το
γεγονός
πραγματοποιήθηκε δεν δίνει καινούριες πληροφορίες
για την επανεκτίμηση της πιθανότητας του γεγονότος
.
Αν τώρα υποθέσουμε ότι και
, τότε το ότι το
είναι
ανεξάρτητο του
συνεπάγεται και το ότι το
είναι ανεξάρτητο
του
.
Πράγματι,
Λόγω της συμμετρίας αυτής, λέμε ότι τα γεγονότα
και
είναι ανεξάρτητα.
Από την προηγούμενη σχέση παίρνουμε
,
που έχει έννοια ακόμα κι αν
ή
.
Έτσι οδηγούμαστε στον ακόλουθο ορισμό της ανεξαρτησίας
γεγονότων:
Ορισμός: Δύο γεγονότα
και
λέγονται
(στοχαστικά ή στατιστικά ή υπό την έννοια της πιθανότητας)
ανεξάρτητα, αν
.
Πιo γενικά, λέμε ότι
γεγονότα
είναι ανεξάρτητα, αν
και οποιοδήποτε υποσύνολό τους που περιέχει τουλάχιστον δύο αλλά
λιγότερα από
ενδεχόμενα, αποτελείται από ανεξάρτητα ενδεχόμενα.
-
- Παράδειγμα 14: Θεωρούμε ένα δοχείο που περιέχει
4 πανομοιότυπους βόλους, εκτός του ότι είναι αριθμημένοι από το 1 ως το 4.
Θέτουμε
, και υποθέτουμε ότι η πιθανότητα κάθε σημείου
του
είναι 1/4. Αποφασίστε για το αν τα γεγονότα
και
είναι
ανεξάρτητα, όταν
α)
,
, και
β)
,
.
α) Προφανώς είναι
,
, και
. Επομένως
άρα τα
και
είναι ανεξάρτητα.
β) Προφανώς είναι
,
, και
. Επομένως
Άρα τα
και
δεν είναι ανεξάρτητα.
Τελειώνουμε το κεφάλαιο αυτό με μερικά σχόλια που αφορούν
πειράματα τύχης των οποίων ο δειγματοχώρος είναι άπειρος.
Σε τέτοια περίπτωση, ο ορισμός της πιθανότητας διαφόρων ενδεχομένων
εξαρτάται από το αν ο ΔΧ είναι αριθμήσιμος ή όχι.
Μη αριθμήσιμοι δειγματοχώροι
απαιτούν εν γένει την εισαγωγή
νέων εννοιών.
Αν όμως ο ΔΧ είναι αριθμήσιμος, τότε μπορούμε να ορίσουμε τη
συνάρτηση πιθανότητας σύμφωνα με τον αξιωματικό ορισμό που
δώσαμε, αρκεί να μην ορίσουμε ίση πιθανότητα για κάθε
στοιχειώδες γεγονός του
. Ο περιορισμός αυτός προκύπτει
από την απαίτηση σύγκλισης του άπειρου αθροίσματος
του αξιώματος (iii).
-
- Παράδειγμα 15: Pίχνουμε ένα νόμισμα μέχρι
να έρθει κεφάλι (Κ).
Εστω ότι το αποτέλεσμα του πειράματος
είναι ο αριθμός των ρίψεων που χρειάστηκαν μεχρι να έρθει Κ.
Τότε ο ΔΧ του πειράματος είναι
.
Η πιθανότητα να έρθει Κ σε μιά ρίψη είναι 1/2. Η πιθανότητα να έρθει
γράμματα (Γ) στην πρώτη ρίψη και Κ στη δεύτερη ρίψη είναι 1/4.
Η πιθανότητα να έρθει Γ στις δύο πρώτες ρίψεις και Κ στην τρίτη
είναι 1/8, κ.ο.κ. Αυτό μας υποβάλλει την ιδέα να αντιστοιχίσουμε
πιθανότητα
στο στοιχειώδες γεγονός
του
.
Συμβολίζοντας με
το σημείο
του
, από το αξίωμα (iii)
έχουμε
Το παραπάνω άθροισμα υπολογίζεται με τη βοήθεια της ταυτότητας που
δίνει το άπειρο άθροισμα μιάς γεωμετρικής σειράς:
Πολλαπλασιάζοντας την παραπάνω ταυτότητα με
, και θέτοντας
, παίρνουμε
.
Αλλά
, οπότε
, όπως πρέπει
για μιά συνάρτηση πιθανότητας.
Ποια είναι η πιθανότητα να έρθει πρώτη φορά Κ μετά από άρτιο
αριθμό ρίψεων;
Έστω
το γεγονός που περιγράφτηκε. Τότε
,
και
Οπότε η πιθανότητα να έρθει πρώτη φορά κεφάλι μετά από περιττό
αριθμό ρίψεων είναι 2/3.
Maria Kafesaki
2005-05-26