Ανεξαρτησία γεγονότων

Για δύο γεγονότα $Α$ και $Β$, με $P(Α) >0$, ορίσαμε τη δεσμευμένη πιθανότητα του Β δεδομένου του Α, $P(Β\vertΑ)$. Συγκρίνοντας τώρα τις πιθανότητες $P(Β\vertΑ)$ και $P(Β)$, είναι δυνατόν να ισχύει μία από τις τρεις σχέσεις:

$$P(Β\vertΑ) > P(Β),~~P(Β\vertΑ) = P(Β),~~P(Β\vertΑ) < P(Β) .$$

Το ποια από αυτές θα ισχύει, καθορίζεται από τις επιλογές των $Α$ και $Β$.

Στην περίπτωση που είναι $P(B\vert A) = P(B)$, λέμε ότι το γεγονός $Β$ είναι ανεξάρτητο¹ (στοχαστικά ή στατιστικά ή υπό την έννοια της πιθανότητας) από το γεγονός $Α$. Δηλαδή, η γνώση του ότι το γεγονός $A$ πραγματοποιήθηκε δεν δίνει καινούριες πληροφορίες για την επανεκτίμηση της πιθανότητας του γεγονότος $B$. Αν τώρα υποθέσουμε ότι και $P(B)>0$, τότε το ότι το $B$ είναι ανεξάρτητο του $A$ συνεπάγεται και το ότι το $A$ είναι ανεξάρτητο του $B$.

Πράγματι,

$$P(A\vert B) = \frac{P(B\cap A)}{P(B)} = \frac{P(B\vert A) P(A)}{P(B)} = \frac{P(B) P(A)}{P(B)} = P(A) .$$

Λόγω της συμμετρίας αυτής, λέμε ότι τα γεγονότα $A$ και $B$ είναι ανεξάρτητα. Από την προηγούμενη σχέση παίρνουμε $P(A\cap B) = P(A) P(B)$, που έχει έννοια ακόμα κι αν $P(A)=0$ ή $P(B)=0$. Έτσι οδηγούμαστε στον ακόλουθο ορισμό της ανεξαρτησίας γεγονότων:

Ορισμός: Δύο γεγονότα $A_1$ και $A_2$ λέγονται (στοχαστικά ή στατιστικά ή υπό την έννοια της πιθανότητας) ανεξάρτητα, αν $P(A_1\cap A_2) = P(A_1) P(A_2)$ . Πιo γενικά, λέμε ότι $n\geq 3$ γεγονότα $A_1,A_2,...,A_n$ είναι ανεξάρτητα, αν

$$P(A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n) = P(A_1)\cdot P(A_2)\cdots P(A_n) ,$$

και οποιοδήποτε υποσύνολό τους που περιέχει τουλάχιστον δύο αλλά λιγότερα από $n$ ενδεχόμενα, αποτελείται από ανεξάρτητα ενδεχόμενα.

Παράδειγμα 14: Θεωρούμε ένα δοχείο που περιέχει 4 πανομοιότυπους βόλους, εκτός του ότι είναι αριθμημένοι από το 1 ως το 4. Θέτουμε $\Omega =\{1,2,3,4\}$, και υποθέτουμε ότι η πιθανότητα κάθε σημείου του $\Omega$ είναι 1/4. Αποφασίστε για το αν τα γεγονότα $A$ και $B$ είναι ανεξάρτητα, όταν

α) $A=\{1,2\}$, $B=\{1,3\}$, και

β) $A=\{1,2,3\}$, $B=\{1,2,4\}$.

α) Προφανώς είναι $P(A) =1/2$, $P(B) = 1/2$, και $P(A\cap B) = P(\{1\}) = 1/4$. Επομένως

$$P(B\vert A) = \frac{P(B\cap A)}{P(A)} =\frac{1/4}{1/2} =\frac{1}{2}=P(B) ,$$

άρα τα $A$ και $B$ είναι ανεξάρτητα.

β) Προφανώς είναι $P(A) =3/4$, $P(B) = 3/4$, και $P(A\cap B) = P(\{1,2\}) = 1/2$. Επομένως

$$P(B\vert A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)} =\frac{1/2}{3/4} =\frac{2}{3} \neq \frac{3}{4} = P(B) .$$

Άρα τα $A$ και $B$ δεν είναι ανεξάρτητα.

Τελειώνουμε το κεφάλαιο αυτό με μερικά σχόλια που αφορούν πειράματα τύχης των οποίων ο δειγματοχώρος είναι άπειρος. Σε τέτοια περίπτωση, ο ορισμός της πιθανότητας διαφόρων ενδεχομένων εξαρτάται από το αν ο ΔΧ είναι αριθμήσιμος ή όχι. Μη αριθμήσιμοι δειγματοχώροι απαιτούν εν γένει την εισαγωγή νέων εννοιών. Αν όμως ο ΔΧ είναι αριθμήσιμος, τότε μπορούμε να ορίσουμε τη συνάρτηση πιθανότητας σύμφωνα με τον αξιωματικό ορισμό που δώσαμε, αρκεί να μην ορίσουμε ίση πιθανότητα για κάθε στοιχειώδες γεγονός του $\Omega$. Ο περιορισμός αυτός προκύπτει από την απαίτηση σύγκλισης του άπειρου αθροίσματος του αξιώματος (iii).

Παράδειγμα 15: Pίχνουμε ένα νόμισμα μέχρι να έρθει κεφάλι (Κ). $'$Εστω ότι το αποτέλεσμα του πειράματος είναι ο αριθμός των ρίψεων που χρειάστηκαν μεχρι να έρθει Κ. Τότε ο ΔΧ του πειράματος είναι $\Omega=\{1,2,3,4,...\}$. Η πιθανότητα να έρθει Κ σε μιά ρίψη είναι 1/2. Η πιθανότητα να έρθει γράμματα (Γ) στην πρώτη ρίψη και Κ στη δεύτερη ρίψη είναι 1/4. Η πιθανότητα να έρθει Γ στις δύο πρώτες ρίψεις και Κ στην τρίτη είναι 1/8, κ.ο.κ. Αυτό μας υποβάλλει την ιδέα να αντιστοιχίσουμε πιθανότητα $1/2^n$ στο στοιχειώδες γεγονός $n$ του $\Omega$.

Συμβολίζοντας με $A_n$ το σημείο $n$ του $\Omega$, από το αξίωμα (iii) έχουμε

$$P \left( \sum_{n=1}^\infty A_n \right) = \sum_{n=1}^\infty P(... ...4} +\frac{1}{8} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} .$$

Το παραπάνω άθροισμα υπολογίζεται με τη βοήθεια της ταυτότητας που δίνει το άπειρο άθροισμα μιάς γεωμετρικής σειράς:

$$1 + r + r^2 + r^3 + \cdots =\frac{1}{1-r} .$$

Πολλαπλασιάζοντας την παραπάνω ταυτότητα με $r$, και θέτοντας $r=1/2$, παίρνουμε $P \left( \sum_{n=1}^\infty A_n \right) =1$. Αλλά $\sum_{n=1}^\infty A_n = \Omega$, οπότε $P \left( \sum_{n=1}^\infty A_n \right) = P(\Omega) =1$, όπως πρέπει για μιά συνάρτηση πιθανότητας.

Ποια είναι η πιθανότητα να έρθει πρώτη φορά Κ μετά από άρτιο αριθμό ρίψεων;

Έστω $Ε$ το γεγονός που περιγράφτηκε. Τότε $Ε= \{2,4,6,...\}$, και

$$P(Ε) = \frac{1}{4} +\frac{1}{16} +\frac{1}{64} + \cdots = \frac{1/4}{1-1/4} = \frac{1}{3} .$$

Οπότε η πιθανότητα να έρθει πρώτη φορά κεφάλι μετά από περιττό αριθμό ρίψεων είναι 2/3.