ή
Εδάφια:
2.a. Η σύσταση των ατόμων
2.b. Ατομικά φάσματα
2.c. Θεωρία του Bohr
2.d. Η κυματική συμεπριφορά των σωμάτων: Υλικά κύματα
2.e. Ο κυματοωματιδιακός δυισμός της ύλης: Αρχή αβεβαιότητας
2.f. Κυματοσυνάρτηση και κυματική εξίσωση
Η υπόθεση ότι η ύλη αποτελείται από αδιαίρετες μονάδες, τα άτομα, υπήρχε από την Αρχαία Ελλάδα (Δημόκριτος). Η πρώτες επιστημονικές μαρτυρίες όμως ήλθαν την περίοδο του διαφωτισμού. Πειράματα που έδρασαν αποφασιστικά στην ανάπτυξη της ιδέας του ατόμου ήταν
Τα πειράματα του Thomson απέδειξαν την ύπαρξη του ηλεκτρονίου και οδήγησαν στα πρώτα μοντέλα του ατόμου. Στο μοντέλο του Thomson τα ηλεκτρόνια ήταν ομοιόμορφα κατανεμημένα μέσα στο άτομο. Το μοντέλο αυτό αμφισβητήθηκε από τον Lenard, ο οποίος στα πειράματά του διαπίστωσε ότι τα ηλεκτρόνια μπορούσαν να περασουν εύκολα από λεπτά υμένια, πράγμα που σήμαινε ότι το άτομο θα πρέπει να είναι σχετικά άδειο.
O Rutherford, επηρεασμένος από τη δουλειά του Lenard, επιχείρησε να ελέγξει πειραματικά το μοντέλο του Thomson. Το πείραμα του Rutherford συνίστατο στο βομβαρδισμό λεπτών υμενίων χρυσού με ισχυρά διεισδυτικά σωματίδια α (πυρήνες He). Το πείραμά του (δείτε το σχήμα) έδειξε ότι κάποια από τα σωματίδια α υφίσταντο έντονη σκέδαση και κάποια άλλα περνούσαν σχεδόν ανεμπόδιστα από τα υμένια. Η ανάλυση των αποτελεσμάτων του οδήγησε στο πλανητικό μοντέλο του ατόμου, σύμφωνα με το οποίο σχεδόν όλη η μάζα του ατόμου είναι συγκεντρωμένη σε μια μικρή περιοχή, τον πυρήνα, ενώ τα ηλεκτρόνια κινουνται σε μεγάλη απόσταση από τον πυρήνα.
Αντίθετα από τα θερμικά φάσματα των στερεών ή των υγρών σωμάτων, τα οποία είναι συνεχή, τα φάσματα εκπομπής των μεμονωμένων ατόμων είναι γραμμικά, δηλαδή εκπέμπονται μόνο ορισμένες συχνότητες, που εμφανίζονται ως φωτεινές γραμμές πάνω σε ένα σκοτεινό υπόβαθρο. Οι γραμμές αυτές (φασματικές γραμμές) είναι χαρακτηριστικές κάθε στοιχείου. (Εκτός από τα φάσματα εκπομπής υπάρχουν και τα φάσματα απορρόφησης, τα οποία παιρνουμε όταν φωτίσουμε ένα αέριο με συνεχές φώς. Τα φάσματα αυτά αποτελούνται από σκοτεινές γραμμές σε φωτεινό υπόβαθρο - οι σκοτεινές αυτές γραμμές είναι στις ίδιες συχνότητες με τις φωτεινές γραμμές του φάσματος εκπομπής του στοιχείου.)
Στο δεύτερο μισό του 19ου αι. υπήρχε μεγάλος αριθμός πειραματικών δεδομένων πάνω στα τα φάσματα των ατόμων, δεν ηπήρχε όμως θεωρητική ερμηνεία (η ερμηνεία, τουλάχιστον για το άτομο του Η, έγινε το 1913, με τις εργασίες του Bohr). Για τις φασματικές γραμμές του ατόμου του Η υπήρχε ο φαινομενολογικός τύπος
1/λ = f /c = R [ 1/n2- 1/m2]
όπου n, m ακέραιοι και and R = 1.10x107 m-1 η σταθερά του Rydberg. Για n=1 και m>n έχουμε τη σειρά Lyman (στο υπεριώδες), για n=2 τη σειρά Balmer (ορατό και υπεριώδες) και για n=3 φωτόνια στο υπέρυθρο.
Το μοντέλο του Bohr για το άτομο αναπτύχθηκε στην προσπάθεια ερμηνείας των ατομικών φασμάτων και της σταθερότητας του ατόμου στο μοντέλο του Rutherford. Ερμηνεύει εξαιρετικά το φάσμα του Υδρογόνου, τη σταθερότητα του ατόμου και υπολογίζει την τάξη μεγέθους του ατόμου. (Για το μοντέλο του αυτό, ο Bohr πήρε το βραβείο Nobel το 1922.)
Οι υποθέσεις (αξιώματα) που έκανε ο Bohr (αυθαίρετα) στην την ανάπτυξη της θεωρίας του είναι οι εξής:
1) Οι ενεργειακές καταστάσεις του ατόμου είναι κβαντωμένες. Το άτομο σε αυτές τις καταστάσεις δεν ακτινοβολεί. Ακτινοβολεί μόνο κατά τη μετάβαση από μια κατάσταση σε άλλη. Η ενέργεια του εκπεμπόμενου φωτονίου ισούται με την ενεργειακή διαφορά των δύο καταστάσεων.
2) Επιτρέπονται μόνο εκείνες οι κυκλικές τροχιές στις οποίες η στροφορμή, L, είναι ακέραιο πολλαπλάσιο της σταθεράς του Planck,
Από τη συνθήκη κβάντωσης της στροφορμής και από τις εξισώσεις της κυκλικής κίνησης (δύναμη Coulomb (ke2/r2) = κεντρομόλος δύναμη (mv2/r), v=ωr), υπολογίζεται η ακτίνα της τροχιάς, αn, η ενέργεια, En, και η ταχύτητα vn του ηλεκτρονίου που βρίσκεται στη στάθμη με κβαντικό αριθμό n στο άτομο του Υδρογόνου.
αn=[(h/2π)2/k me2)]n2=n2α0, α0=[(h/2π)2/k me2)]=0.529 A
En=-m k2 e4/2(h/2π)2n2=-13.6/n2 eV
vn=ke2/(h/2π)n=c/(137 n)
Για άτομα με Ζ πρωτόνια στον πυρήνα, το e2 στους παραπάνω τύπους γίνεται Ζe2.
----
Πώς το μοντέλο του Bohr ερμηνεύει τη σταθερότητα του ατόμου; Πώς ερμηνεύει τα
ατομικά φάσματα;
----
Αρχή αντιστοιχίας: Στο όριο των μεγάλων κβαντικών αριθμών τα αποτελέσματα του Bohr θα συμπίπτουν με τα αντίστοιχα κλασικά. (κλασικά όρια: α) μεγάλων κβαντικών αριθμών, β) μεγάλων μαζών και h->0)
Ενώ το μοντέλο του Bohr έδινε ικανοποιητικές απαντήσεις στα διάφορα μέχρι τότε προβλήματα, υπήρχαν αρκετά θέματα που παρέμεναν ανερμήνευτα (σχετική ένταση ατομικών φασμάτων, φάσματα βαριών στοιχείων, μη περιοδικές κινήσεις κλπ). Επιπλέον δεν υπήρχε μια θεμελίωση/ερμηνεία των βασικών υποθέσεων του Bohr.
Η ερμηνεία αυτή δόθηκε από τον De Broglie, to 1923. O De Broglie, υποκινούμενος από τις εργασίες πάνω στην διττή φύση της ακτινοβολίας, υπέθεσε την ίδια διττή φύση και για τα σωματίδια. Αφού τα φωτόνια συμπεριφέρονται ως σωματίδια γιατι και τα σωματίδια να μην συμπεριφέρονται ως κύματα; (Επιπλέον, για τα κύματα η κβάντωση ήταν κάτι ήδη γνωστό, π.χ. στάσιμα κύματα σε χορδή).
Βασικό αξίωμα De Broglie: Κάθε σωματίδιο συμπεριφέρεται και ως κύμα (κάτω από ορισμένες συνθήκες). Οι σχέσεις που συνδέουν τα κυματικά του χαρακτηριστικά (συχνότητα, μήκος κύματος) με τα σωματιδιακά (ενέργεια, ορμή) είναι οι εξής:
Δεχόμενοι ότι η κίνηση του ηλεκτρονίου γύρω από τον πυρήνα έχει κυματικό χαρακτήρα (δηλ. τα e όταν κινούνται γύρω από τον πυρήνα συμπεριφέρονται ως κύματα) και άρα επιτρέπονται μόνο εκείνες οι κυκλικές τροχιές που φτιάχνουν στασιμα κύματα (2πr=nλ, με λ=h/p) μπορούμε να ερμηνεύσουμε αβίαστα τη συνθήκη κβάντωσης της στροφορμής του Bohr. Επιπλέον, αφού η συχνότητα είναι κβαντισμένη, είναι φυσιολογική η κβάντωση και της ενέργειας.
----
Υπολογιστε το μήκος κύματος για ένα ηλεκτρόνιο ενέργειας 2 eV. Εξηγήστε
γιατι ένα ηλεκτρονικό μικροσκόπιο που λειτουργεί με e ενέργειας 2 eV θα έχει μεγαλύτερη
διακριτική ικανότητα από ένα οπτικό μικρoσκόπιο.
----
Η κυματική συμπεριφορά των e αποδείχθηκε πειραματικά για πρώτη φορά το 1927, από τους Davisson-Germer. Οι Davisson-Germer πραγματοποίησαν πειράματα περίθλασης ηλεκτρονίων από κρυστάλλους Ni, αποδεικνύοντας έτσι την κυματική φύση του e και επιβεβαιώνοντας το μήκος κύματος De Broglie.
Μια θεμελιώδης αρχή που απορρέει από τον κυματικό χαρακτήρα των σωματιδίων είναι η "Αρχή της αβεβαιότητας (ή απροσδιοριστίας)" του Heisenberg. Σύμφωνα με την αρχή αυτή είναι αδύνατον να μετρήσουμε ταυτόχρονα τη θέση και την ορμή ενός σωματιδίου με απόλυτη ακρίβεια. Συγκεκριμένα, "Το γινόμενο των αβεβαιοτήτων θέσης και ορμής δεν μπορεί να είναι μικρότερο από τη σταθερά του Planck", δηλ.
Με άλλα λόγια, όσο πιο αυστηρά καθορισμένη είναι η θέση ενός σωματιδίου, τόσο μεγαλύτερη είναι η αβεβαιότητα στην ορμή του.
Η αρχή αυτή απορρέει άμεσα από τον κυματικό χαρακτήρα των σωματιδίων. Για να κατασκευαστεί ένα κύμα περιορισμένο χωρικά (όπως θα περίμενε κανείς να είναι ένα σωματίδιο) θα πρέπει να γίνει υπέρθεση πολλών επίπεδων κυμάτων με παραπλήσια μήκη κύματος, άρα και διαφορετικές παραπλήσιες ορμές (p=h/λ=hk/2π), και όσο πιο εντοπισμένο χωρικά είναι ένα κύμα τόσο πιο μεγάλο είναι το εύρος μηκών κύματος (άρα και των ορμών) που περιέχει (δηλ. που θα πρέπει να χρησιμοποιήσει κανείς για να το κατασκευάσει). Αν θεωρήσουμε ότι ένα σωματίδιο περιγράφεται από ένα τέτοιο κύμα, η ταχύτητά του, v, θα είναι ίση με την ταχύτητα ομάδας vg του κύματος (vg=Δω/Δk=ΔΕ/Δp=p/m=v).
-----
Πώς η αρχή της αβεβαιότητας εξηγεί τη σταθερότητα του ατόμου;
Γιατί δεν πέφτουν τα ηλεκτρόνια στον πυρήνα;
Πώς ο εντοπισμός των σωματιδίων κάνει πιο έκδηλη την κβαντική τους συμπεριφορά;
----
Εκτός από τη σχέση αβεβαιότητας θέσης-ορμής υπάρχει και μια άλλη σχέση αβεβαιότητας: αυτή ενέργειας-χρόνου,
Η σχέση αυτή μπορεί να ερμηνευτεί ως εξής: όσο πιο αργά μεταβάλλεται ένα φυσικό σύστημα τόσο πιο καλά καθορισμένη είναι η ενέργειά του ( τ είναι ο χρόνος που χρειάζεται να περιμένουμε για να δούμε μια μεταβολή στην ενεργειακή κατάσταση του φυσικού συστήματος και ΔΕ η αβεβαιότητα στην ενέργεια του συστήματος).
Θα πρέπει να αναφέρουμε τέλος ότι η αβεβαιότητα ενός μεγέθους x δίδεται από τον τύπο (Δx)2=< x 2 >- < x >2, όπου < x > είναι η μέση τιμή του x.
Αφού τα σωματίδια συμπεριφέρονται σαν κύματα, θα πρέπει να περιγράφονται και αυτά, όπως και κάθε κύμα, από μια κυματοσυνάρτηση, π.χ. Ψ(x,t)=exp[i(kx-ωt)]. Κάθε κυματοσυνάρτηση όμως περιγράφει μια μεταβολή (ταλάντωση) κάποιας φυσικής ποσότητας, π.χ. των τμημάτων ταλαντούμενης χορδής, των μορίων νερού κλπ. Στην περίπτωση ενός σωματιδίου (εντοπισμένης ποσότητας) δεν θα μπορούσε να συμβαίνει κάτι τέτοιο. Εδώ η κυματοσυνάρτηση εκφράζει πιθανότητα. Δίνει την πιθανότητα (πλάτος πιθανότητας) να βρούμε το σωμάτιο στη μια ή την άλλη περιοχή του χώρου. Δηλαδή,
αυτό που είναι κύμα (απλωμένο) δεν είναι το ίδιο το σωμάτιο αλλά η πιθανότητα να το βρούμε στη μια ή την άλλη περιοχή του χώρου.
Αν ένα σωματίδιο περιγράφεται από μια κυματοσυνάρτηση Ψ(x,t), τότε το
|Ψ(x,t)| λέγεται πλάτος πιθανότητας και η ποσότητα
|Ψ(x,t)|2=P(x) πυκνότητα
πιθανότητας (πιθανότητα ανά μονάδα μήκους).
Άρα
|Ψ(x,t)|2dx είναι η πιθανότητα να βρούμε το σωμάτιο μεταξύ x και
x+dx (σε μία διάσταση), και το ολοκλήρωμά του σε όλο το μήκος θα είναι μονάδα.
Γνωρίζοντας την κυματοσυνάρτηση μπορούμε να υπολογίσουμε σχεδόν όλα τα χαρακτηριστικά της κίνησης του σωματιδίου. Π.χ. η μέση τιμή της θέσης του, x, ή οποιασδήποτε συνάρτησησης της θέσης, f(x), θα δίνεται από
ή
Κυματική εξίσωση (εξίσωση Schrodinger):
Η Ψ(x,t), όπως και σε κάθε είδους κύμα, δίδεται και στην περίπτωη των υλικών κυμάτων (σωματιδίων) από τη λύση μιας κυματικής εξίσωσης, χαρακτηριστικής του προβλήματος. Η εξίσωση αυτή στην περίπτωσή μας λέγεται εξίσωση Schrodinger και είναι η βασική εξίσωση της Κβαντομηχανικής.
Για ένα σωμάτιο που κινείται σε δυναμικό V(x) η εξίσωση Schrodinger έχει τη μορφή:
(1) (χρονοεξαρτημένη εξ. Schrodinger)
και οι λύσεις της μπορούν να γραφούν ως
(2)
Το χωρικό κομμάτι της κυματοσυνάρτησης, ψ(x), θα ικανοποιεί τη χρονοανεξάρτητη εξίσωση Schrodinger (που προκύπτει αν αντικαταστήσουμε στην χρονοεξαρτημένη εξίσωση την πιο πάνω λύση):
(3)
---
Δείξτε ότι για κυματοσυναρτήσεις της μορφής (2) ισχύει |Ψ(x,t)|2=|ψ(x)|2
(η πιθανότητα είναι ανεξάρτητη του χρόνου).