Γραμμική Άλγεβρα: Περιεχόμενα ύλης

Εδάφια από το βιβλίο Ι. Δ. Βέργαδου: 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, Σελ. 285, 4.3 (ορισμός και ό,τι είναι bold μόνο), 5.1, 5.2 (μέχρι και την Παρατήρηση 2), 5.3 ως το Παράδειγμα 1 (χωρίς αυτό) συν τις Σημειώσεις 1 και 2, 5.4, 5.7, 6.1, 6.2, 6.3.4 (έως και το Παράδειγμα 3).
Επίσης, οι σημειώσεις πάνω σε διανυσματικούς χώρους, τελεστές και πίνακες, γραμμικά συστήματα εξισώσεων και προβλήματα ιδιοτιμών.

Θεματικά:

Διανυσματικοί χώροι (υπάρχουν σημειώσεις)
- Τι είναι διανυσματικοί χώροι - ιδιότητές τους.
- Ο R³: Εσωτερικό γινόμενο. Μέτρο διανύσματος, ορθογώνια και ορθοκανονικά διανύσματα.
- Διανυσματικοί χώροι περισσότερων από τρεις διαστάσεις (Rⁿ, μιγαδικοί χώροι, χώροι συναρτήσεων).
- Γραμμική ανεξαρτησία διανυσμάτων. Βάση διανυσματικού χώρου. Διάσταση διανυσματικού χώρου. Συνιστώσες διανύσματος ως προς βάση.
- Εσωτερικό γινόμενο. Μέτρο διανύσματος. Ορθογώνια και ορθοκανονικά διανύσματα. Ανισότητα Cauchy-Schwarz.
- Ορθοκανονικοποίηση Gram-Schmidt.
Τελεστές και πίνακες (υπάρχουν σημειώσεις)
- Γραμμικές απεικονίσεις διανυσμάτων (τελεστές) και ιδιότητές τους.
- Πίνακες (ως αναπαραστάσεις τελεστών).
- Πράξεις πινάκων και ιδιότητές τους: Πρόσθεση, πολλαπλασιασμός με αριθμό, πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα, πολλαπλασιασμός πινάκων. Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων ως γινόμενο πίνακα γραμμής με πίνακα στήλης.
- Ειδικοί πίνακες: Ταυτοτικός (μοναδιαίος), διαγώνιος, μηδενικός, συμμετρικός, διαγώνιος, άνω τριγωνικός, κάτω τριγωνικός.
- Χρήσιμοι πίνακες: Συζυγής, ανάστροφος, ερμιτιανός συζυγής (ή προσαρτημένος) και αντίστροφος πίνακα. Μοναδιακός και ορθογώνιος πίνακας.
- Ίχνος πίνακα. Ορίζουσα πίνακα. Υπολογισμός ορίζουσας, ελάσσων ορίζουσα. Ιδιότητες οριζουσών. Υπολογισμός του αντιστρόφου ενός πίνακα. Τάξη πίνακα, ιδιόμορφος πίνακας. Ορίζουσα μοναδιακού και ορθογώνιου πίνακα.
Γραμμικά συστήματα εξισώσεων (υπάρχουν σημειώσεις)
- Μέθοδοι επίλυσης γραμμικών συστημάτων:
  - Μέθοδος αντικατάστασης
  - Μέθοδος ευθείας αντιστροφής
  - Μέθοδος Cramer ή οριζουσών
  - Απαλοιφή Gauss
  - Τριγωνική (ή LU) παραγοντοποίηση
- Συνθήκες επιλυσιμότητας γραμμικών συστημάτων.
- Ομογενή γραμμικά συστήματα.
Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα πινάκων (υπάρχουν σημειώσεις)
- Ορισμός και υπολογισμός ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων.
- Χαρακτηριστικό πολυώνυμο πίνακα (ορισμός).
- Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα πίνακα διαγώνιου, τριγωνικού, ερμιτιανού, κανονικού και μοναδιακού
- Συνθήκες γραμμικής ανεξαρτησίας ιδιοδιανυσμάτων.
- Μετασχηματισμός ομοιότητας (ορισμός) και διαγωνιοποίση πίνακα μέσω μετασχηματισμού ομοιότητας, με πίνακα μετασχηματισμού τον πίνακα των ιδιοδιανυσμάτων.
- Χρήση του χαρακτηριστικού πολυωνύμου για τον υπολογισμό του αντιστρόφου ή δυνάμεων πινάκων.